Richiami di meccanica dei fluidi

Il progetto delle infrastrutture idrauliche che interagiscono con gli alvei fluviali deve essere condotto adottando, nel novero delle variabili di progetto, quelle che sintetizzano le sollecitazioni che la corrente fluviale esercita sulla struttura. A tale scopo, è necessario interpretare, e spesso descrivere matematicamente, la geometria, la cinematica e la dinamica della corrente stessa.

Per risolvere compiutamente il problema è necessario descrivere il moto della corrente. Al fine di ottenere tale descrizione, il fluido viene schematizzato come un mezzo continuo, inteso quindi come un aggregato di particelle fluide. La particella di fluido è un volume infinitesimo di fluido considerato alla stregua di un punto materiale.

Ciascuna particella, situata quindi in un punto dello spazio, è caratterizzata dal proprio vettore velocità, che in generale è variabile nel tempo. E' quindi necessario, per descrivere il moto della corrente, descrivere il vettore velocità di ogni particella fluida, al variare dello spazio e del tempo.

Nelle applicazioni pratiche, tuttavia, risulta spesso più conveniente, anzichè studiare il vettore velocità per ogni particella fluida, definire un volume fisso rispetto al quale studiare, per ogni suo punto, il vettore velocità al variare del tempo. Questo approccio è detto euleriano. Il nostro volume di controllo coinciderà spesso con il volume della corrente in un assegnato tronco fluviale, ad esempio compreso fra due ponti.

E' utile ricordare che il campo di moto può essere compiutamente descritto, con una soluzione alternativa di tipo grafico, tracciando 3 famiglie di linee: la traiettoria, ovvero il luogo dei punti successivamente occupati da un'assegnata particella fluida, la linea di corrente o linea di flusso, che si riferisce ad un istante di tempo assegnato e che è la curva tale per cui il vettore velocità è ad essa tangente in ciascuno dei suoi punti, e la linea di emissione, ovvero il luogo dei punti che ad un istante temporale assegnato occupano le particelle precedentemente passate per un assegnato punto del campo di moto. In particolare, la definizione di traiettoria e quella di linea di corrente saranno utili per meglio comprendere concetti tecnici che saranno successivamente discussi.

E' immediato comprendere che lo studio del campo di moto per un assegnato volume di controllo è estremamente complicato, potendo in generale le particelle fluide assumere traiettorie indipendenti fra loro. Si pensi, ad esempio, al moto che si ottiene rovesciando il contenuto di un bicchiere su una superficie piana. Dal punto di vista tecnico è quindi necessario introdurre delle semplificazioni, che si traducono in descrizioni non esatte, introducendo quindi approssimazioni che possono però essere del tutto giustificate dal punto di vista tecnico.

 

Abbiamo innanzi sottolineato che il vettore velocità nel campo di moto di un fluido è generalmente variabile nello spazio e nel tempo, e si dice quindi che siamo in condizioni di moto vario. Una prima semplificazione che si può introdurre è quella di considerare condizioni stazionarie, assumendo quindi che il vettore velocità non vari nel tempo. Si dice allora che siamo in presenza di moto permanente. Una ulteriore semplificazione si ottiene assumendo che il vettore velocità non vari sia nello spazio che nel tempo. Il moto si dice allora uniforme ed è caratterizzato da traiettorie rettilinee e parallele.

Poichè l'obiettivo di questo corso è la descrizione di correnti fluviali, una prima approssimazione che introduciamo è quella di riferirci allo studio della corrente, ovvero quel particolare campo di moto nel quale le traiettorie delle diverse particelle fluide hanno sensibilmente la stessa direzione. Il termine "sensibilmente" significa che in realtà sono possibili piccoli scostamenti nella direzione delle singole traiettorie, che tuttavia devono mantenersi limitati. Un esempio tipico di corrente si verifica facendo scorrere acqua in un tubo a sezione circolare di diametro costante, che può anche essere curvo.

Immaginiamo ora di tagliare la corrente con una superficie che in ogni suo punto, e in un generico istante, risulti normale al vettore velocità nel punto stesso: detta superficie si definisce "sezione trasversale" della corrente. La sezione trasversale può essere ricavata a partire da ogni punto del contorno della corrente.

Si definisce portata di una corrente il volume di fluido che transita nell'unità di tempo attraverso un'assegnata sezione trasversale. La portata Q della corrente è legata all'area A della sezione trasversale ed alla velocità media v_m nella sezione trasversale stessa dalla relazione

Q = v_m A.

Una ulteriore semplificazione si ottiene riferendosi al caso della corrente gradualmente variata, o corrente lineare, che è caratterizzata da traiettorie delle particelle fluide sensibilmente rettilinee e parallele. Sono quindi escluse curve pronunciate.

E' importante sottolineare che non esiste alcuna analogia fra la definizione di moto vario precedentemente introdotta e la definizione di corrente gradualmente variata. Infatti, le correnti gradualmente variate si possono muovere in condizioni di moto vario, ma anche in condizioni di moto permanente ed uniforme.

La corrente gradualmente variata è caratterizzata da sezioni trasversali piane, sulle quali la pressione è distribuita in accordo alla legge idrostatica, ovvero: z + p/γ = cost dove z è l'altezza di un punto assegnato rispetto ad un piano orizzontale di riferimento, p è la pressione idrostatica nel punto stesso e γ è il peso specifico dell'acqua. La quantità z + p/γ è detta carico piezometrico della corrente nella sezione trasversale assegnata rispetto al piano orizzontale di riferimento.

Le correnti gradualmente variate presentano l'interessante proprietà che il vettore velocità è sensibilmente invariante nella sezione trasversale. Di conseguenza, queste correnti possono essere descritte con un modello monodimensionale, nel quale l'unica variabile spaziale indipendente è la coordinata che descrive la posizione della sezione trasversale considerata. Detta coordinata spaziale è l'ascissa curvilinea della corrente.

Nella descrizione delle correnti fluviali, l'ascissa curvilinea è usualmente misurata lungo il profilo longitudinale del thalweg, ovvero il luogo dei punti di quota minima delle sezioni fluviali trasversali. Inoltre, si può dimostrare che le correnti gradualmente variate sono compiutamente descritte da due sole variabili: una di tipo geometrico ed una di tipo cinematico, che a loro volta dipendono dalle variabili indipendenti tempo e coordinata spaziale. Le variabili geometriche sono caratterizzate da unità di misura espressa in funzione di sole lunghezze, mentre le variabili cinematiche hanno unità di misura espressa in funzione di lunghezza e tempo. Esempi di variabili geometriche sono l'altezza d'acqua e l'area della sezione trasversale. Esempi di variabili cinematiche sono la velocità della corrente e la portata.

Le considerazioni di cui sopra mettono in evidenza che la corrente gradualmente variata deve essere descritta da due equazioni al fine di poter ricavare le due variabili incognite innanzi menzionate. In quanto segue, per collocarci nel contesto delle correnti fluviali, faremo esplicito ed esclusivo riferimento alle correnti a pelo libero, ovvero quelle correnti che hanno una parte del loro contorno, appunto chiamata pelo libero, a diretto contatto con l'atmosfera. Queste correnti sono soggette a pressioni ridotte, essendo le altezze di acqua limitate, e quindi vengono solitamente descritte assumendo che il fluido, ovvero l'acqua, sia incomprimibile. E' utile osservare che nel caso delle correnti gradualmente variate la direzione ed il verso del vettore velocità sono univocamente assegnate ed è quindi necessario descriverne il solo modulo. E' importante ricordare che la corrente gradualmente variata a pelo libero è caratterizzata da pelo libero orizzontale nella sezione trasversale. Infatti, ponendo p = 0 in corrispondenza del pelo libero la legge idrostatica si riduce a z = cost.

Al fine di poter definire le due equazioni necessarie per descrivere il moto di una corrente a pelo libero è necessario fare riferimento ai principi della fisica, poichè stiamo trattando un fluido in movimento. A questo fine, è utile ricordare che la conservazione della massa e dell’energia sono sempre verificate nella meccanica dei fluidi, così come le leggi del moto di Newton, ovvero:

• Se su un corpo non agiscono forze o agisce un sistema di forze in equilibrio, il corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.
• La relazione fra la massa m di un oggetto, la sua accelerazione a e la forza applicata F è espressa dalla relazione F = m a.
• Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Le leggi di Newton implicano la conservazione della quantità di moto della corrente. Nel caso delle correnti gradualmente variate, essendo direzione e verso del vettore velocità assegnate, la conservazione della quantità di moto è equivalente alla conservazione dell'energia della corrente. Pertanto, le due equazioni necessarie a descrivere la corrente possono essere identificate nell'equazione di bilancio di massa e nell'equazione di bilancio energetico.

L'equazione di bilancio di massa per una corrente è anche chiamata equazione di continuità. Per una generica corrente (non necessariamente a pelo libero), e sotto le ipotesi di contributi laterali nulli di massa di fluido e fluido incomprimibile, l'equazione di continuità si scrive nella forma

dove Q è la portata della corrente, s è l'ascissa fluviale, A è l'area della sezione trasversale ed s e t sono le coordinate, rispettivamente, spaziale e temporale. Noi non ricaviamo l'equazione di continuità onde non addentrarci nel dettaglio in concetti di meccanica dei fluidi, ma è necessario che l'equazione di continuità sia ben ricordata dagli studenti, poichè costituisce una base indispensabile per comprendere i processi che studieremo, al fine di supportare la progettazione delle opere idrauliche.

La seconda equazione che utilizziamo per la descrizione delle correnti gradualmente variate è quindi l'equazione di bilancio della qualità di moto, che discende dalla seconda legge di Newton. E' utile ed opportuno ricavare questa equazione, al fine di meglio ricordarla e comprenderla. Può essere ricavata seguendo dimostrazioni alternative. Una via alla quale sono affezionato è quella che parte dall'equazione convettiva-dispersiva (la dimostrazione è disponibile qui per gli studenti interessati, ma non è necessario conoscerla per il prosieguo del corso). Tuttavia, in questa sede affronteremo una dimostrazione semplificata che sfrutta l'analogia, già menzionata, fra la conservazione della quantità di moto e la conservazione dell'energia per le correnti gradualmente variate.

Partiremo quindi dall'enunciato del Teorema di Bernouilli applicato alle correnti, che si può scrivere nella forma: "nella corrente di moto permanente di un fluido perfetto, pesante ed incomprimibile la potenza si conserva lungo le sezioni trasversali". Nel caso delle correnti gradualmente variate, si può semplificare l'enunciato affermando che l'energia totale della corrente (o carico totale) calcolata per la particella fluida che risiede nel baricentro della sezione trasversale, si conserva durante il moto. Si può quindi scrivere:

dove H rappresenta l'energia totale della corrente nella sezione trasversale per unità di peso del fluido, ed ha quindi le dimensioni di una lunghezza; v è la velocità della corrente nella sezione trasversale; z è la quota del baricentro della sezione trasversale rispetto ad un piano orizzontale di riferimento, p è la pressione idrostatica nel baricentro della sezione, γ è il peso specifico dell'acqua e α è il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetiche, che tiene conto della reale distribuzione della velocità lungo la sezione trasversale. In seguito, assumeremo α=1.

In condizioni di moto vario, e rimuovendo l'assunzione di fluido perfetto, il teorema di Bernouilli si scrive nella forma

dove s indica l'ascissa curvilinea della corrente, g indica l'accelerazione di gravità e J è la cadente del carico totale della corrente, ovvero la perdita di energia, per unità di ascissa fluviale ed unità di peso del fluido, subita dalla corrente ad effetto dell'attrito fra il fluido reale e il contorno della corrente (ovvero l'alveo fluviale). Ipotizzando che le sezioni trasversali siano verticali si può scrivere

,

dove h indica l'altezza d'acqua nella sezione trasversale, ovvero il dislivello fra il pelo libero ed il thalweg, ed i indica la pendenza di fondo alveo. Sostituendo, l'equazione dinamica si può quindi scrivere nella forma

.

Associando all'equazione dinamica e quella di continuità si ottiene quindi il sistema delle equazioni dette di De Saint-Venant, dal nome del matematico francese che le formulò per primo nel 1872, ovvero

.

E' utile richiamare le assunzioni che condizionano la validità delle equazioni, che è indispensabile ricordare:

• fluido incomprimibile;
• Afflussi e deflussi laterali nulli;
• Corrente gradualmente variata;
• Sezioni verticali.

E' interessante notare che le due equazioni sono scritte in funzione di variabili diverse, pur mantenendo il requisito indispensabile che una sia di tipo geometrico e l'altra di tipo cinematico. Infatti, l'equazione dinamica è scritta nelle incognite h (geometrica) e v (cinematica), mentre l'equazione di continuità è scritta nelle variabili A (geometrica) e Q (cinematica). Con semplici cambi di variabile è possibile scrivere le due equazioni in funzione delle medesime grandezze; in questa sede viene tuttavia mantenuta la rappresentazione di cui sopra che è proposta da numerosi testi didattici.

Per risolvere le equazioni di De Saint-Venant, che sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo iperbolico è necessario specificare il termine J, nonchè le condizioni iniziali ed al contorno. J è valutato empiricamente come vedremo nelle prossime sezioni; le condizioni iniziali sono specificate fornendo il valore di una variabile geometrica e una cinematica lungo l'alveo fluviale al tempo t=0, mentre la le condizioni al contorno sono definite fornendo il valore di una variabile geometrica ed una cinematica nelle sezioni trasversali che delimitano il tronco d'alveo oggetto di analisi. In particolare, la condizione al contorno di tipo cinematico viene sempre specificata in corrispondenza della sezione di monte (solitamente si tratta della portata fluviale in ingresso) mentre la condizione al contorno di tipo geometrico deve essere specificata a monte oppure a valle in dipendenza del carattere cinematico della corrente, come meglio vedremo in seguito.

Facciamo ora riferimento ad una sezione trasversale di una corrente generica caratterizzata da portata Q, assumendo solo che la corrente stessa sia gradualmente variata e che le sezioni trasversali siano verticali, potendo il moto essere eventualmente vario oppure permanente, ed in alcuni casi anche uniforme. Definiamo quindi la quantità (sempre assumendo che il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetiche assuma valore unitario)

,

che porge il carico energetico E della sezione rispetto al fondo alveo, ovvero la cosiddetta energia specifica della corrente. E' immediato comprendere dall'equazione precedente che, a parità di portata Q, la corrente può transitare nella sezione con diversi livelli di energia specifica al variare dell'altezza idrica, ovvero la sola quantità dalla quale l'energia dipende. Per altezza della corrente tendente a zero e tendente ad infinito, l'energia diverge, tendendo quindi ad assumere valore infinito. Infatti, l'andamento dell'energia in dipendenza dell'altezza può essere rappresentato dal grafico in Figura 1.

Figura 1. Andamento dell'energia specifica al variare dell'altezza d'acqua di una corrente gradualmente variata di portata Q.

Esiste quindi un valore di altezza d'acqua k al quale corrisponde il minimo di energia. Per trovare il valore dell'altezza di minima energia, detta "altezza critica", occorre imporre l'annullamento della derivata totale dell'energia rispetto all'altezza d'acqua, ovvero:

,

dalla quale, con semplici passaggi, si ricava

.

E' di particolare interesse il caso della sezione rettangolare, per la quale si ricava

,

dove q è la portata specifica, ovvero la portata della corrente per unità di larghezza d'alveo.

Si può dimostrare che in condizioni critiche, ovvero quando la corrente transita con altezza d'acqua pari all'altezza critica,il numero di Froude della corrente assume valore unitario. Il numero di Froude si scrive

,

dove A è l'area della sezione trasversale e B è la larghezza del pelo libero nella sezione trasversale stessa. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene Fr² = (Q²/B)/(g A³), dalla quale si evince che per altezza pari all'altezza critica si ottiene Fr = 1.

Peraltro, effettuando un bilancio di massa ed un bilancio di energia al passaggio di una piccola perturbazione (onda di bassa ampiezza) si ottiene che (g A/B)^1/2 è proprio la velocità di propagazione della perturbazione stessa. Il numero di Froude è quindi il rapporto fra la velocità della corrente e la velocità delle piccole perturbazioni.

Ne consegue che per una corrente in stato supercritico, ovvero quando Fr > 1, la corrente è più veloce di piccole perturbazioni indotte, mentre in condizioni subcritiche, con Fr < 1, le piccole perturbazioni sono più veloci della corrente e possono quindi risalirla. Questa diversa peculiarità cinematica porta a fare una distinzione tecnica fra i due tipi di corrente. Nel dettaglio, la corrente in stato supercritico (ovvero nel ramo dell'energia a sinistra di h_c in Figura 1) si dice corrente veloce, mentre la corrente subcritica (ramo a destra di h_c in Figura 1) si dice corrente lenta.

La diversità fra i due tipi di corrente ha enorme importanza dal punto di vista tecnico. Infatti, per la corrente lenta le condizioni al contorno per l'integrazione delle equazioni di De Saint Venant vanno ricercate l'una a valle e l'altra a monte, mentre per la corrente veloce le condizioni al contorno vanno ricercate entrambe a monte. In particolare, per una corrente veloce le perturbazioni di livello (condizione al contorno di tipo geometrico) possono solo scendere verso valle. Viceversa, per una corrente lenta possono risalire verso monte o scendere verso valle in condizioni di moto vario, mentre in condizioni di moto permanente possono solo risalire verso monte. Questi concetti verranno ripresi quando saranno trattati gli argomenti successivi di lezione.

Abbiamo in precedenza anticipato che la stima della cadente del carico totale J viene risolta per via empirica, per l'impossibilità di decifrare con modelli fisici i complessi fenomeni di attrito che determinano le perdite energetiche. Nel caso delle correnti a pelo libero, viene spesso utilizzata la formula di Chezy, ovvero

,

nella quale R indica il raggio idraulico della sezione, ovvero il rapporto fra area bagnata A e contorno bagnato P della sezione trasversale, e χ indica il coefficiente di resistenza di Chezy. Quest'ultimo può essere espresso mediante la relazione di Gauckler-Strickler, ovvero

nella quale k_s è un coefficiente tabellato in dipendenza dalle caratteristiche dell'alveo, espresso in m^1/3/s. Sostituendo nell'equazione precedente si ottiene

,

dalla quale è possibile ricavare J. Per il caso particolare della sezione rettangolare l'equazione si scrive

.

In numerose applicazioni tecniche è indispensabile calcolare l'altezza di moto uniforme della corrente in una sezione, ovvero l'altezza d'acqua alla quale una corrente gradualmente variata a pelo libero di portata Q transita in un'assegnata sezione trasversale in condizioni di moto uniforme, ovvero in condizioni tali per cui il vettore velocità non varia nello spazio e nel tempo.

Annullando quindi tutte le derivate spaziali e temporali nelle equazioni di De Saint-Venant si ottiene che il moto uniforme è descritto dalla sola semplice equazione i = J . Infatti, le variabili caratteristiche della corrente rimangono due, ma la variabile cinematica, ovvero la portata, è invariante nello spazio e nel tempo ed è quindi data dalla condizione iniziale nella sezione di monte del tronco fluviale. La variabile geometrica è invece imposta dalla condizione che la cadente del carico totale sia uguale alla pendenza di fondo.

L'altezza di moto uniforme si può quindi ricavare a partire dell'equazione di Chezy, eguagliando J ad i. Nel caso di sezione rettangolare, nota quindi la pendenza di fondo, l'altezza di moto uniforme si può ricavare con la formula

.

La spinta S esercitata da una corrente in movimento è data dalla somma della spinta idrostatica e della spinta idrodinamica. Per una sezione trasversale di forma qualunque si può scrivere S = γ A h_g + ρ Q v , dove h_g è l'altezza del baricentro della sezione trasversale rispetto al fondo alveo. Per una sezione rettangolare si può scrivere s = 1/2 γ h² + ρ q v , ove s e q sono la spinta e la portata per unità di larghezza (q si dice anche portata specifica). Ulteriori richiami di meccanica dei fluidi saranno ripresi nelle lezioni successive del corso.

Ultima modifica: 20 giugno 2020